РГР: как сделать
РГР1 и РГР2 — это типовой расчёт курса: шесть заданий на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и теорию поля. Здесь: что сдавать и как оформлять, алгоритм для каждого задания и типичные ошибки. Полные решения — на примере варианта 1 в главах 6–10.
РГР1: 10 балловРГР2: 10 балловисточник: РПД 54478 + типовой расчёт Попова
- Из РПД (первоисточник): названия РГР, баллы, требования к оформлению, «номера задач даёт практик», «возможна защита». Ссылка на файл типового расчёта тоже из РПД.
- Вывод, а не правило: что РГР1 — это задания 1–4 типового расчёта, а РГР2 — задания 5–6. В РПД так прямо не написано, но описание сходится: в РГР1 «5 задач с пунктами a, b» (1, 2, 3a, 3b, 4), в РГР2 «4 задачи с пунктами a, b, c» (5a, 5b, 5c, 6).
- Варианты и номера задач даёт практик (РПД).
Что такое РГР1 и РГР2
| РГР1 | РГР2 | |
|---|---|---|
| Тема по РПД | «Кратные и криволинейные интегралы» | «Теория поля» |
| Задания типового расчёта (вывод) | 1, 2, 3a, 3b, 4 | 5a, 5b, 5c, 6 |
| Максимум | 10 | 10 |
| Как считаются баллы (РПД) | 5 задач, каждая по 2 балла | 1 задача — 2 балла, 2 задачи — 4, 3 задачи — 6, все 4 — 10 (в РПД ещё «+2 за полностью верный расчёт») |
| Главы конспекта | 6, 7, 8 | 8, 9, 10 |
Сам типовой расчёт — файл «Типовой расчёт 3 семестр» из РПД (44 страницы). В нём 30 вариантов на каждое из шести заданий и разобранные образцы решений на с. 4–28. Это перенабор типового расчёта Судавной и Фролова (ИТМО, 2012), поэтому во введении написано «во втором семестре» — не обращай внимания.
Для сравнения, как было у Попова в прошлом году (другой курс, другой практик, не правило для нас): номер варианта = номер в журнале практика, 1 задача = 1 балл, можно сдавать по частям и пересдавать без штрафа до дедлайна, после дедлайна не принимается. В этом году по РПД задача стоит 2 балла — ориентируйся на РПД.
Оформление: чек-лист
Требования из РПД (общие для РГР1 и РГР2) плюс то, что Попов требовал в прошлом году. Последние отмечены, их стоит уточнить.
- ☐ Отдельная тетрадь только под РГР (РПД). В прошлом году у Попова можно было и пронумерованные листы A4 — спроси, можно ли так.
- ☐ На обложке или первой странице: ФИО, группа, номер варианта, «РГР1» или «РГР2».
- ☐ Перед каждым заданием — полное условие, переписанное целиком, вместе с общей формулировкой задания, а не только формулы своего варианта (РПД).
- ☐ Чертежи — на миллиметровке (РПД), вклеены рядом с решением. Оси подписаны, масштаб указан, точки пересечения подписаны координатами.
- ☐ Решение подробное: формула, по которой считаешь; расстановка пределов с объяснением; все промежуточные интегралы.
- ☐ В конце каждой задачи строка «Ответ: …» (так в образцах типового расчёта и так требовал Попов).
- ☐ Все ответы перепроверены вторым способом там, где он есть (другой порядок интегрирования, другая формула). Ниже для каждого задания написано, чем проверять.
- ☐ Готов защитить: можешь объяснить каждую строку и пересчитать любой кусок у доски (РПД: «возможна защита»).
Задание 1 — плоская область. Задание 2 — тело (схематический рисунок в аксонометрии; полезно добавить сечение плоскостью). Задания 3 и 4 — дуги кривых (в условии отдельно не требуются, но «чертежи на миллиметровке» в РПД про всю РГР, и с ними легче защищать). Задание 5 — тетраэдр, треугольник $KLM$, нормаль и направление обхода. Задание 6 — чертёж не нужен, можно нарисовать ломаную, по которой ищешь потенциал.
Интерактивные картинки на этой странице нужны, чтобы понять форму. На миллиметровку переноси руками: отметь характерные точки по координатам, потом соедини.
Задание 1. Площадь области двойным интегралом
РГР1глава 6: двойные интегралы
Условие (общее): плоская область $D$ ограничена заданными линиями. 1) Сделайте схематический рисунок области $D$. 2) С помощью двойного интеграла найдите площадь области $D$.
Нужно: $S = \iint_D dx\,dy$, сведённый к повторному интегралу. Типичные линии в вариантах: прямые, параболы, корни $y=\sqrt{\ldots}$, показательные функции и логарифмы.
- Каждую линию приведи к знакомому виду. Особенно корни: $x = \sqrt{2y}-2$ — это половина параболы $y = \frac{(x+2)^2}{2}$ (только $x\ge -2$), а $y=\sqrt{4-x}$ — верхняя половина параболы $x = 4-y^2$.
- Найди попарные пересечения линий, решая системы. Каждый корень проверь подстановкой в исходные уравнения: возведение в квадрат даёт лишние корни.
- Нарисуй линии и выдели область, которую они ограничивают. Проверь одну внутреннюю точку.
- Выбери порядок интегрирования: внешний интеграл по той переменной, при которой меньше кусков. Если «нижняя» или «левая» граница меняет формулу — режь область на части.
- Расставь пределы: внешние — числа, внутренние — функции от внешней переменной.
- Посчитай и проверь вторым порядком интегрирования (в образце типового расчёта так и сделано).
- Забыть, что $y=\sqrt{\ldots}$ и $x=\sqrt{\ldots}$ — только половины парабол. Лишняя половина даёт лишние «пересечения».
- Не разрезать область, когда граница меняется: тогда пределы неверны на части отрезка.
- Перепутать, какая функция сверху: проверяй в одной точке внутри отрезка.
- Пересечения «на глаз» по картинке. Образец ТР находит их графически, но на защите попросят обосновать — лучше решить системы.
Задание 2. Объём тела тройным интегралом
РГР1глава 7: тройные интегралы
Условие (общее): тело $T$ ограничено заданными поверхностями. 1) Сделайте схематический рисунок тела $T$. 2) С помощью тройного интеграла найдите объём тела $T$, перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам.
Поверхности в вариантах: сферы $x^2+y^2+z^2=R^2$ и смещённые сферы $x^2+y^2+z^2=2az$, параболоиды $z = a \pm b(x^2+y^2)$, конусы $z^2 = k(x^2+y^2)$, цилиндры $x^2+y^2=R^2$, эллипсоиды, плоскости $x=0$, $y=0$, $z=0$. Условия «при $x\ge0$», «при $z\le\ldots$» вырезают нужный кусок.
- Опознай каждую поверхность: выдели полные квадраты ($x^2+y^2+z^2=2\sqrt3 z \iff x^2+y^2+(z-\sqrt3)^2=3$ — сфера с центром $(0,0,\sqrt3)$).
- Выбери координаты. Есть сферы с центром на $Oz$ или конусы — сферические $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$, якобиан $r^2\sin\theta$. Есть параболоиды или цилиндры — цилиндрические $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, $z=z$, якобиан $r$.
- Перепиши уравнения поверхностей в новых координатах.
- Условия вида $x\ge0$, $y\le0$ переведи в отрезок для $\varphi$.
- Найди линию пересечения поверхностей: она даёт границу по $r$ (в цилиндрических) или по $\theta$ (в сферических).
- Определи, какую поверхность луч (или вертикальная прямая) пересекает при входе в тело и при выходе: это внутренние пределы.
- Нарисуй тело: сначала сечение плоскостью, проходящей через $Oz$ (например, $y=0$), потом аксонометрию.
- Посчитай. Проверь, что ответ меньше объёма какой-нибудь простой фигуры, в которой лежит тело.
- Забыть якобиан $r$ или $r^2\sin\theta$ — самая частая ошибка.
- Неверный отрезок по $\varphi$: $x\ge0$ — это $\varphi\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, а не $[0,\pi]$.
- Не заметить, что при части углов тела нет (луч выходит из тела раньше, чем входит). Тогда отрезок по $\theta$ уже, чем кажется.
- В сферических координатах в некоторых учебниках угол отсчитывают от плоскости $xOy$, а не от оси $Oz$. Тогда $z = r\sin\psi$ и якобиан $r^2\cos\psi$. Пиши так, как на лекции, и не смешивай.
Задание 3. Масса плоской дуги
РГР1глава 8: криволинейные интегралы 1 рода
Условие (общее): с помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу $M$ дуги плоской материальной кривой, заданной уравнениями a) $y=f(x)$ при $x_1\le x\le x_2$; b) $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$ при $t_1\le t\le t_2$, если плотность вещества равна $\rho(x,y)$.
Пределы всегда от меньшего к большему: $dl\ge0$, это длина кусочка дуги.
- Найди производную $f'(x)$ или $\varphi'(t)$, $\psi'(t)$.
- Упрости подкоренное выражение $1+f'^2$ (или $\varphi'^2+\psi'^2$). В вариантах оно почти всегда сворачивается в полный квадрат или в простую дробь — так задачи и подобраны.
- Извлеки корень с модулем и раскрой модуль по знаку на данном отрезке.
- Подставь кривую в плотность: $\rho(x, f(x))$ или $\rho(\varphi(t),\psi(t))$.
- Перемножь, сократи, посчитай определённый интеграл.
- $\sqrt{g^2} = |g|$, а не $g$. Модуль раскрывай по отрезку.
- Если подкоренное выражение не упрощается — почти наверняка ошибка в производной. Перепроверь.
- Если плотность $\rho=1$, масса равна длине дуги. На защите могут спросить именно это.
- Масса не может быть отрицательной. Отрицательный ответ — ошибка в знаке или в порядке пределов.
Задание 4. Масса пространственной дуги
РГР1глава 8: криволинейные интегралы 1 рода
Условие (общее): с помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу $M$ дуги пространственной материальной кривой, заданной уравнениями $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$, $z=\chi(t)$ при $t_1\le t\le t_2$, если плотность вещества равна $\rho(x,y,z)$.
$$M = \int_{t_1}^{t_2}\rho\bigl(\varphi(t),\psi(t),\chi(t)\bigr)\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2+\chi'^2}\,dt.$$Алгоритм тот же, что в задании 3b, только три производные. Во многих вариантах плотность подобрана так, что корень из $dl$ сокращается с корнем в знаменателе $\rho$: если после подстановки этого не случилось, ищи ошибку. Кривые обычно — винтовые линии на круговом или эллиптическом цилиндре или отрезки прямых: на рисунке покажи цилиндр и дугу на нём.
- Подставлять $x, y, z$ в плотность надо все три, включая «простую» координату вроде $x=t$.
- Тригонометрия: $\cos^2t$ и $\sin^2t$ приводи к одной функции через $\sin^2 t = 1-\cos^2t$, иначе сокращение не увидишь.
- Знак плотности на дуге: если $\rho<0$ на части дуги, условие физически странное — проверь, не ошибся ли в подстановке.
Задание 5. Поток, теорема Гаусса, циркуляция
РГР2главы 9 и 10, для пункта c ещё 8
Условие (общее): дано векторное поле $\vec a$ и плоскость $\sigma$, пересекающая координатные плоскости по замкнутой ломаной $KLMK$, где $K, L, M$ — точки пересечения плоскости $\sigma$ с осями $Ox, Oy, Oz$ соответственно.
a) Найдите поток $Q$ векторного поля $\vec a$ через часть $S$ плоскости $\sigma$, вырезанную координатными плоскостями, в сторону нормали $\vec n$, направленной от начала координат $O(0,0,0)$.
b) С помощью теоремы Остроградского–Гаусса найдите поток $Q$ векторного поля $\vec a$ через полную поверхность тетраэдра $OLMK$ в сторону внешней нормали.
c) Найдите циркуляцию $C$ векторного поля $\vec a$ по контуру $KLMK$, образованному пересечением плоскости $\sigma$ с координатными плоскостями.
Последнее равенство — теорема Стокса; нормаль $\vec n$ и направление обхода согласованы правилом правой руки (с конца $\vec n$ обход виден против часовой стрелки).
- Точки $K, L, M$: в уравнение $\sigma$ подставь две нулевые координаты. Нарисуй тетраэдр $OKLM$.
- a) Нормаль к плоскости $Ax+By+Cz=D$ — это $\pm(A,B,C)$. «От начала координат» значит: в точке $O$ левая часть меньше $D$, если выбираешь $+(A,B,C)$ при $D>0$. Проще: возьми $\vec N=(A,B,C)\cdot\operatorname{sign} D$, тогда $\vec n = \vec N/|\vec N|$.
- Вырази $z$ из уравнения плоскости, $dS = \frac{|\vec N|}{|C|}\,dx\,dy$. Подставь $z$ в $\vec a\cdot\vec n$ и сведи поток к двойному интегралу по треугольнику $D_{xy}$ — проекции $S$ на $xOy$.
- b) Найди $\div\vec a = \pd{a_x}{x}+\pd{a_y}{y}+\pd{a_z}{z}$. В вариантах она постоянна, тогда $Q = \div\vec a\cdot V$, $V = \frac16|OK|\,|OL|\,|OM|$.
- c) Способ I: циркуляция = сумма трёх интегралов по отрезкам $KL$, $LM$, $MK$. На каждом отрезке одна координата равна 0, другая выражается через третью. Способ II (проверка): Стокс, $\rot\vec a$ постоянен, поток ротора через треугольник считается через площади проекций.
- Проверь согласованность: вектор $\overrightarrow{KL}\times\overrightarrow{LM}$ должен смотреть туда же, куда нормаль, через которую ты считаешь поток ротора.
- Точки $K, L, M$ могут иметь отрицательные координаты. Тогда треугольник лежит не в первом октанте, и нормаль «от $O$» может смотреть вниз ($\cos\gamma<0$). В образце ТР про это замечание: знак перед радикалом выбирается по направлению нормали.
- В пункте b поток через всю поверхность тетраэдра, а не через $S$. Он не равен ответу пункта a.
- Объём не бывает отрицательным: длины рёбер бери по модулю.
- Направление обхода $K\to L\to M\to K$ задано, на отрезке $KL$ переменная идёт от координаты $K$ к координате $L$, даже если это «сверху вниз».
Задание 6. Соленоидальность, потенциальность, потенциал
РГР2глава 10: теория поля
Условие (общее): дано векторное поле $\vec a(M)$. a) Проверьте, является ли векторное поле соленоидальным или потенциальным. b) Если поле потенциально, найдите его потенциал.
- Посчитай $\div\vec a$. Если $\div\vec a\equiv0$ во всей области определения — поле соленоидально. Если обращается в ноль только на какой-то поверхности — нет.
- Посчитай $\rot\vec a$ через определитель. Если $\rot\vec a=\vec 0$ и поле задано во всём $\R^3$ — поле потенциально.
- Потенциал $U$: $dU = a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz$. Интегрируй по ломаной $O(0,0,0)\to A(x,0,0)\to B(x,y,0)\to M(x,y,z)$: на каждом звене меняется одна координата, остальные заморожены. Ответ $U + C$.
- Проверка: $\grad U = \vec a$ — продифференцируй и сравни все три компоненты.
- Путать понятия: соленоидальное — $\div=0$, потенциальное — $\rot=\vec0$. Одно поле может быть и тем, и другим, и ни тем, ни другим.
- На звене $OA$ ещё $y=z=0$, на $AB$ ещё $z=0$: эти нули надо подставить в компоненты поля до интегрирования.
- Если начало координат не входит в область определения (например, есть $\ln x$), начинай ломаную из другой точки.
- Забыть $+C$ в ответе.
Типичные ошибки
- Решён не тот вариант или не те номера задач — сначала подтверди у практика.
- Условие переписано не полностью (только формулы варианта). По РПД нужно полное условие перед каждым заданием.
- Чертёж не на миллиметровке, без масштаба и без подписанных точек пересечения.
- Нет строки «Ответ:» или ответ дан только приближённо. Пиши точное значение, приближённое — в скобках.
- Задание 1: лишние корни после возведения в квадрат, не разрезанная на части область.
- Задание 2: нет якобиана, неверный отрезок по углу.
- Задания 3–4: $\sqrt{g^2}$ без модуля, ошибка в производной (подкоренное выражение не упрощается).
- Задание 5: нормаль не в ту сторону, когда $K, L, M$ имеют отрицательные координаты; путаница между потоком через $S$ и через весь тетраэдр; направление обхода не согласовано с нормалью при проверке по Стоксу.
- Задание 6: забыли подставить нули в компоненты поля на звеньях ломаной, забыли $+C$.
Мини-шпаргалка
Площадь: $S=\iint_D dx\,dy=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy$.
Цилиндрические: $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, $z=z$, $dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$.
Сферические: $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$, $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$.
Сфера через $O$: $x^2+y^2+z^2=2az$ $\iff$ $r=2a\cos\theta$.
Масса дуги: $M=\int\rho\,dl$; $dl=\sqrt{1+f'^2}\,dx$; $dl=\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2(+\chi'^2)}\,dt$.
Поток через плоскость $z=f(x,y)$: $\vec n=\frac{\pm(-p,-q,1)}{\sqrt{1+p^2+q^2}}$, $dS=\sqrt{1+p^2+q^2}\,dx\,dy$.
Гаусс: $\oiint_{\partial T}\vec a\cdot\vec n\,dS=\iiint_T\div\vec a\,dV$; объём тетраэдра $\frac16abc$.
Стокс: $\oint_L\vec a\cdot d\vec r=\iint_S\rot\vec a\cdot\vec n\,dS$, с конца $\vec n$ обход против часовой.
Потенциал: $\rot\vec a=\vec0$ в $\R^3$ $\Rightarrow$ $U=\int_{OABM}a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz+C$, проверка $\grad U=\vec a$.
Соленоидальное: $\div\vec a\equiv0$.