Шпаргалка

$(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f(g))'=f'(g)\,g'$.

$(\arctg x)'=\frac1{1+x^2}$, $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$, $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$, $(a^x)'=a^x\ln a$, $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$.

Параметрически: $y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$, $y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}$.

При $t\to0$: $\sin t,\ \tg t,\ \arcsin t,\ \arctg t,\ \ln(1+t),\ e^t-1\sim t$; $1-\cos t\sim\frac{t^2}2$; $(1+t)^a-1\sim at$. Заменять только множители.

$1^\infty$: $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$; $(1+t)^{1/t}\to e$.

$e^x=1+x+\frac{x^2}2+\dots$, $\sin x=x-\frac{x^3}6+\dots$, $\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\dots$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\dots$, $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\dots$

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$; $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$, $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2$.

$\int_0^{2\pi}\cos^2=\pi$, $\int_0^{\pi/2}\cos^2=\frac\pi4$, $\int_0^{\pi/2}\cos^4=\frac{3\pi}{16}$, $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^3=\frac43$, $\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta=2$, $\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}2$.

Замена в определённом — меняй пределы.

$x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ ($z=z$), $r\ge0$, $x^2+y^2=r^2$.

$x^2+y^2=2ax\to r=2a\cos\varphi$, $\varphi\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$; $x^2+y^2=2ay\to r=2a\sin\varphi$, $\varphi\in[0,\pi]$; $x=a\to r=\frac a{\cos\varphi}$; $y=b\to r=\frac b{\sin\varphi}$.

Ось $Ox$: $y=r\cos\varphi$, $z=r\sin\varphi$, $x=x$. Ось системы — вдоль оси симметрии тела.

$x=\rho\cos\varphi\sin\theta$, $y=\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z=\rho\cos\theta$; $\theta\in[0,\pi]$ от $Oz$; $\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\theta$.

$z=\sqrt{x^2+y^2}\to\theta=\frac\pi4$; $z=-\sqrt{x^2+y^2}\to\theta=\frac{3\pi}4$; $x^2+y^2+z^2=2az\to\rho=2a\cos\theta$; $z=h\to\rho=\frac h{\cos\theta}$.

Если в книге широта $\psi$: $z=\rho\sin\psi$, $dV=\rho^2\cos\psi\,d\rho\,d\varphi\,d\psi$.

В матрицу формы — половина коэффициента при $xy$. Все $\Delta_k\gt0$ — положительно определена; $\Delta_1\lt0,\Delta_2\gt0,\Delta_3\lt0,\dots$ — отрицательно; $2\times2$ и $\Delta_2\lt0$ — знакопеременная; какой-то $\Delta_k=0$ — критерий молчит.

Внутренний (правый) предел первым. Двойной $=A$ и внутренний есть $\Rightarrow$ повторный $=A$. Повторные разные $\Rightarrow$ двойного нет. Равные повторные — ничего не значит; повторных нет — двойной может быть.

$\lim_{P\to P_0}f=f(P_0)$; элементарные непрерывны в области определения. Непрерывность по $x$ и по $y$ отдельно — не непрерывность.

На компакте непрерывная ограничена, достигает max и min (Вейерштрасс), равномерно непрерывна (Кантор).

Смешанные непрерывны $\Rightarrow u''_{xy}=u''_{yx}$. Разных 2-х производных: 3 для $u(x,y)$, 6 для $u(x,y,z)$.

$\Delta u=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$. Необходимо: непрерывность, $A=u'_x$, $B=u'_y$. Достаточно: частные непрерывны. Частные есть, а дифференцируемости нет: $\sqrt{|xy|}$.

$du=u'_xdx+u'_ydy\,(+u'_zdz)$.

$d^2u=u''_{xx}dx^2+2u''_{xy}dx\,dy+u''_{yy}dy^2$ (для трёх переменных — двойка у каждой из трёх смешанных).

$d^nu=(dx\,\partial_x+dy\,\partial_y)^nu$ — только для независимых переменных.

$\frac{du}{dt}=f'_x\,x'+f'_y\,y'$, $\pd us=f'_x\pd xs+f'_y\pd ys$. Слагаемых столько, сколько путей в дереве от $u$ до переменной.

$u'_x=f'_1\xi'_x+f'_2\eta'_x$; $f'_1$ — по первому аргументу, а не по $x$.

$(f'_k)'_y=f''_{k1}\xi'_y+f''_{k2}\eta'_y$, $f''_{12}=f''_{21}$. Произведения — по Лейбницу: $(y\,f'_2)'_y=f'_2+y(f'_2)'_y$.

$du=f'dt$ (инвариантно), $d^2u=f''dt^2+f'd^2t$ ($d^2t=0$, только если $t$ независимая).

$(\varphi^\psi)'=\varphi^\psi\left(\psi'\ln\varphi+\psi\frac{\varphi'}\varphi\right)$.

$u=f(r)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$: $u''_{xx}+u''_{yy}=f''+\frac{f'}r$.

$F(x,y)=0$: $y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$, $F'_y\ne0$.

$y''$: дифференцировать тождество (помня $y=y(x)$), подставить $y'$, упростить уравнением. В ответе нет $y'$. В точке — сначала найти недостающую координату.

$F(x,y,z)=0$: $z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z}$, $z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$, $F'_z\ne0$; $dz=-\frac{F'_xdx+F'_ydy}{F'_z}$.

В $F'_x$ переменная $z$ заморожена; при дифференцировании тождества каждое $z$ даёт $z'_x$. Не смешивать два способа.

Сфера $x^2+y^2+z^2=a^2$: $z'_x=-\frac xz$, $z''_{xx}=-\frac{x^2+z^2}{z^3}$, $z''_{xy}=-\frac{xy}{z^3}$.

$z^3-3xyz=a^3$: $z'_x=\frac{yz}{z^2-xy}$, $z''_{xx}=-\frac{2xy^3z}{(z^2-xy)^3}$, $z''_{xy}=\frac{z(z^4-2xyz^2-x^2y^2)}{(z^2-xy)^3}$.

$\frac{\partial u}{\partial l}=u'_x\cos\alpha+u'_y\cos\beta+u'_z\cos\gamma=\frac{(\grad u,\vec a)}{|\vec a|}$.

От $M_0$ к $M_1$: $\vec a=\overrightarrow{M_0M_1}=M_1-M_0$; производные — в $M_0$.

$\grad u=(u'_x,u'_y,u'_z)$ — направление наибыстрейшего роста; $\max\frac{\partial u}{\partial l}=|\grad u|$, $\min=-|\grad u|$; $\perp$ линии/поверхности уровня. Для $z(x,y)$ — вектор на плоскости.

Угол: $\cos\varphi=\frac{(\vec g_1,\vec g_2)}{|\vec g_1||\vec g_2|}$. $u(M_0+\Delta\vec r)\approx u(M_0)+(\grad u,\Delta\vec r)$.

$F(x,y,z)=0$: $\vec n=\grad F(M_0)$;

плоскость $F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0)=0$, нормаль $\frac{x-x_0}{F'_x}=\frac{y-y_0}{F'_y}=\frac{z-z_0}{F'_z}$.

$z=f(x,y)$ ($F=f-z$, $\vec n=(f'_x,f'_y,-1)$): $z-z_0=f'_x(x-x_0)+f'_y(y-y_0)$. Не забыть $z_0=f(x_0,y_0)$.

Плоская $F(x,y)=0$: касательная $F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)=0$, нормаль $\frac{x-x_0}{F'_x}=\frac{y-y_0}{F'_y}$.

$\vec r(t)$: сначала $t_0$ из $\vec r(t_0)=M_0$, $\vec\tau=\vec r\,'(t_0)$; касательная $\frac{x-x_0}{x'}=\frac{y-y_0}{y'}=\frac{z-z_0}{z'}$, нормальная плоскость $x'(x-x_0)+y'(y-y_0)+z'(z-z_0)=0$.

$F=0,\ G=0$: $\vec\tau=\grad F\times\grad G$.

$f(x_0+h,y_0+k)=f+f'_xh+f'_yk+\frac12\left(f''_{xx}h^2+2f''_{xy}hk+f''_{yy}k^2\right)+o(\rho^2)$.

В стационарной точке $\Delta f=\frac12d^2f+o(\rho^2)$: знак $\Delta f$ = знак $d^2f$.

Сильвестр для матрицы вторых производных: $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3\gt0$ — min; знаки $-,+,-$ — max.

$AC-B^2=0$: приращение — сумма квадратов $\Rightarrow$ экстремум; разные знаки на двух прямых $\Rightarrow$ нет.

$L=f+\lambda\varphi$; $L'_x=L'_y=0$, $\varphi=0$. Вид: знак $d^2L$ только на $dx,dy$ с $d\varphi=0$. Геометрия: $\grad f\parallel\grad\varphi$.

$dx\,dy=|J|\,du\,dv$, $J=\begin{vmatrix}x'_u&x'_v\\y'_u&y'_v\end{vmatrix}$, $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\Big/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$.

Полярные: $dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$. Обобщённые $x=ar\cos\varphi$, $y=br\sin\varphi$: $dx\,dy=ab\,r\,dr\,d\varphi$, эллипс $\to r\le1$. Проверка: круг $=\pi R^2$.

Предел по исчерпывающим областям. $\iint_{\R^2}e^{-x^2-y^2}=\pi$, $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$. $\iint\frac{dS}{r^\alpha}$: у нуля сходится при $\alpha\lt2$, на бесконечности при $\alpha\gt2$.

$V=\iint_D(z_2-z_1)\,dS$, $D$ — проекция линии пересечения; $M=\iint\mu$.

$M_x=\iint y\mu$, $M_y=\iint x\mu$ (плечо до оси); $x_c=\frac{M_y}M$, $y_c=\frac{M_x}M$.

$I_x=\iint y^2\mu$, $I_y=\iint x^2\mu$, $I_O=I_x+I_y$; Штейнер $I_l=I_{l_c}+Md^2$ ($l_c$ через центр масс).

Цилиндрические: $dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$.

Сферические: $dV=\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$, $\theta\in[0,\pi]$, верхнее полупространство $[0,\frac\pi2]$. Проверка: шар $\frac43\pi R^3$.

Внешние пределы — числа; предел по $r$ или $\rho$ может зависеть от углов, не наоборот.

$M=\iiint\mu\,dV$, $x_c=\frac1M\iiint x\mu\,dV$ (аналогично $y_c,z_c$); $M_{xy}=\iiint z\mu\,dV$.

$I_z=\iiint(x^2+y^2)\mu$, $I_{xy}=\iiint z^2\mu$, $I_O=\iiint(x^2+y^2+z^2)\mu$; Штейнер от центра масс.

Потенциал: $U(M_0)=G\iiint\frac{\mu\,dV}{|M_0P|}$, $\vec F=\grad U$.

Шар $\frac43\pi R^3$, $I=\frac25MR^2$; полушар $z_c=\frac{3R}8$; цилиндр $I_{\text{ось}}=\frac12MR^2$; конус $I_{\text{ось}}=\frac3{10}MR^2$.

$y=f(x)$: $dl=\sqrt{1+y'^2}\,dx$; $x(t),y(t)$: $dl=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$; $r(\varphi)$: $dl=\sqrt{r^2+r'^2}\,d\varphi$; в пространстве $+z'^2$. Длина $=\int_Ldl$. Корень из квадрата — с модулем, разбить на куски.

$\int_Lf\,dl=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$, $\alpha\lt\beta$; от направления не зависит.

$M=\int\mu\,dl$, $x_c=\frac1M\int x\mu\,dl$, $y_c=\frac1M\int y\mu\,dl$.

$\int_{AB}P\,dx+Q\,dy=\int_{t_A}^{t_B}(Px'+Qy')\,dt$ — от начала к концу, без корня; $\int_{BA}=-\int_{AB}$.

$\int P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dl$.

В односвязной области: $P'_y\equiv Q'_x\Leftrightarrow P\,dx+Q\,dy=du\Leftrightarrow\oint=0\Leftrightarrow\int_A^B=u(B)-u(A)$. В пространстве — $\rot\vec F=\vec0$.

$u=\int_{x_0}^xP(s,y_0)\,ds+\int_{y_0}^yQ(x,s)\,ds+C$. Контрпример без односвязности: $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$, $\oint=2\pi$.

$\oint_LP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q'_x-P'_y)\,dx\,dy$, обход: область слева (дыры — по часовой); поле гладкое во всей $D$.

$S=\frac12\oint x\,dy-y\,dx=\oint x\,dy=-\oint y\,dx$.

Астроида: длина $6a$, площадь $\frac{3\pi a^2}8$; кардиоида: длина $8a$; виток винтовой: $2\pi\sqrt{a^2+b^2}$; арка циклоиды: площадь $3\pi a^2$.

$z=f(x,y)$: $\vec N=(-f'_x,-f'_y,1)$ — вверх; $F=0$: $\vec N=\grad F$; $\vec r(u,v)$: $\vec N=\vec r'_u\times\vec r'_v$.

Наружу: сфера $\frac{(x,y,z)}R$, цилиндр $x^2+y^2=R^2$ — $\frac{(x,y,0)}R$.

$dS=\sqrt{1+f'^2_x+f'^2_y}\,dx\,dy=\frac{dx\,dy}{|\cos\gamma|}=|\vec r'_u\times\vec r'_v|\,du\,dv$.

Сфера: $\frac R{|z|}dx\,dy=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$; конус $z=\sqrt{x^2+y^2}$: $\sqrt2\,dx\,dy$; цилиндр: $R\,d\varphi\,dz$. $S_{ABC}=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$.

$\iint_Sf\,dS=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}\,dx\,dy$ — $z$ подставить. От стороны не зависит.

$M=\iint\mu\,dS$, $z_c=\frac1M\iint z\mu\,dS$, $I_z=\iint(x^2+y^2)\mu\,dS$.

$\iint_SP\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iint_S(\vec F,\vec n)\,dS$.

Одна проекция: $\pm\iint_D(-Pf'_x-Qf'_y+R)\,dx\,dy$, «+» для верхней стороны.

Три проекции: $\iint R\,dx\,dy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,dx\,dy$, знак $=$ знак $\cos\gamma$ (для $P$ — $\cos\alpha$, для $Q$ — $\cos\beta$).

Смена стороны — смена знака; на вертикальном цилиндре $\iint R\,dx\,dy=0$; лист Мёбиуса — поток не определён.

$\vec a=(P,Q,R)$, $\nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$.

$\div\vec a=P'_x+Q'_y+R'_z$ — число.

$\rot\vec a=(R'_y-Q'_z,\ P'_z-R'_x,\ Q'_x-P'_y)$ — вектор (циклически $x\to y\to z$).

$\Delta u=u''_{xx}+u''_{yy}+u''_{zz}=\div\grad u$.

$\rot\grad u=\vec0$, $\div\rot\vec a=0$, $\rot\rot\vec a=\grad\div\vec a-\Delta\vec a$.

$\div(u\vec a)=u\div\vec a+(\grad u,\vec a)$, $\rot(u\vec a)=u\rot\vec a+\grad u\times\vec a$.

$\grad r=\frac{\vec r}r$, $\div\vec r=3$, $\rot\vec r=\vec0$, $\div(f(r)\vec r)=3f+rf'$.

$\oint_L(\vec a,d\vec r)=\iint_S(\rot\vec a,\vec n)\,dS$; с конца $\vec n$ обход против часовой. Для многоугольника $\vec n\parallel\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_2A_3}$.

Векторные линии: $\frac{dx}P=\frac{dy}Q=\frac{dz}R$.

$\oiint_S(\vec a,\vec n)\,dS=\iiint_V\div\vec a\,dV$ — замкнутая $S$, внешняя $\vec n$, поле гладкое в $V$.

Незамкнутая: Гаусс минус крышки (с внешней нормалью: дно $-\vec k$). $\oiint\frac{(\vec r,\vec n)}{r^3}dS=4\pi$, если $O$ внутри, иначе $0$.

$\div\vec a=\lim\frac1{|V|}\oiint(\vec a,\vec n)\,dS$, $(\rot\vec a,\vec n)=\lim\frac1{|S|}\oint(\vec a,d\vec r)$.

$\iiint(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=\oiint\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)dS$.