Экзамен: вопросы

ФНП. Функция $u=f(M)$, $M=(x_1,\dots,x_n)\in D\subset\R^n$: каждой точке $M$ из $D$ сопоставлено одно число. Расстояние $\rho(M,M_0)=\sqrt{\sum_i (x_i-x_i^0)^2}$; $\delta$-окрестность точки — открытый шар радиуса $\delta$.

Предел (по Коши). $M_0$ — предельная точка $D$. $\lim\limits_{M\to M_0}f(M)=A$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$: для всех $M\in D$, $0<\rho(M,M_0)<\delta$ выполнено $|f(M)-A|<\varepsilon$. По Гейне: для любой последовательности $M_k\to M_0$, $M_k\ne M_0$, $f(M_k)\to A$. Отличие от функции одной переменной: к точке можно подходить по бесконечно многим путям; если по двум путям пределы разные, предела нет.

Непрерывность в точке $M_0\in D$: $\lim\limits_{M\to M_0}f(M)=f(M_0)$. Сумма, произведение, частное (знаменатель $\ne0$) и суперпозиция непрерывных функций непрерывны.

Равномерная непрерывность на $D$: $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ (одно на всё $D$): $\forall M',M''\in D$, $\rho(M',M'')<\delta\Rightarrow|f(M')-f(M'')|<\varepsilon$. В обычной непрерывности $\delta$ может зависеть от точки, здесь — нет.

Свойства непрерывных на ограниченном замкнутом множестве (компакте): теорема Кантора — равномерно непрерывна; Вейерштрасс — ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений. На связном множестве — принимает все промежуточные значения (Больцано-Коши).

Пример. $f=\frac{1}{x^2+y^2}$ непрерывна в проколотом круге $0<x^2+y^2\le1$, но не равномерно: возле нуля две сколь угодно близкие точки дают сколь угодно большую разность значений. Множество не замкнуто, Кантор неприменим.

Подробно: глава 1.

Частная производная. $f'_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ — производная по $x$ при фиксированном $y$. Смысл: угловой коэффициент касательной к сечению поверхности $z=f(x,y)$ плоскостью $y=y_0$.

Полное приращение: $\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$.

Дифференцируемость: $\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$, $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to0$, $A,B$ — числа. Дифференциал: главная линейная часть $df=A\Delta x+B\Delta y=f'_x\,dx+f'_y\,dy$.

Необходимое условие: дифференцируема $\Rightarrow$ непрерывна и $\exists f'_x=A$, $f'_y=B$. (Положить $\Delta y=0$, поделить на $\Delta x$.) Достаточное: частные производные существуют в окрестности и непрерывны в точке $\Rightarrow$ дифференцируема. Существования частных производных мало: $f=\sqrt{|xy|}$ в $(0,0)$.

Геометрический смысл: $z-z_0=f'_x(x-x_0)+f'_y(y-y_0)$ — касательная плоскость; $df$ — приращение аппликаты касательной плоскости, $\Delta f$ — поверхности, разница $o(\rho)$.

Полный образцовый ответ — ниже, в разборе билета. Подробно: глава 2.

Теорема. $z=f(x,y)$ дифференцируема в точке $(x_0,y_0)$, $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ дифференцируемы в $(u_0,v_0)$, $x(u_0,v_0)=x_0$, $y(u_0,v_0)=y_0$. Тогда $z(u,v)$ дифференцируема в $(u_0,v_0)$ и

$$z'_u=f'_x\,x'_u+f'_y\,y'_u,\qquad z'_v=f'_x\,x'_v+f'_y\,y'_v.$$

Частный случай $x=x(t),\ y=y(t)$: $\frac{dz}{dt}=f'_x\,x'(t)+f'_y\,y'(t)$. Идея доказательства: подставить приращения $\Delta x,\Delta y$ в формулу дифференцируемости $f$ и поделить на $\Delta t$; $o(\rho)/\Delta t\to0$.

$u=\varphi(t)^{\psi(t)}$, $\varphi>0$. Это $u=x^y$ с $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$:

$$u'=y\,x^{y-1}\varphi'+x^y\ln x\cdot\psi'=\varphi^{\psi}\left(\psi'\ln\varphi+\psi\,\frac{\varphi'}{\varphi}\right).$$

Производная определителя, элементы которого — функции $a_{ij}(t)$: определитель — многочлен от элементов (сумма произведений по одному из каждой строки), поэтому по правилу производной произведения

$$\frac{d}{dt}\det\big(a_{ij}(t)\big)=\sum_{k=1}^{n}\Delta_k,$$

где $\Delta_k$ — определитель, в котором продифференцирована только $k$-я строка (остальные без изменений). Для $2\times2$: $(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})'=\begin{vmatrix}a'_{11}&a'_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a'_{21}&a'_{22}\end{vmatrix}$.

Подробно: глава 3.

Формула конечных приращений (Лагранжа). Пусть $f$ дифференцируема в выпуклой области, содержащей отрезок $[M_0,M_1]$, $M_1=M_0+\Delta$, $\Delta=(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n)$. Тогда $\exists\theta\in(0,1)$:

$$f(M_1)-f(M_0)=\sum_{i=1}^n f'_{x_i}(M_0+\theta\Delta)\,\Delta x_i.$$

Доказательство: $\varphi(t)=f(M_0+t\Delta)$ на $[0,1]$; по правилу дифференцирования сложной функции $\varphi'(t)=\sum f'_{x_i}(M_0+t\Delta)\Delta x_i$; по Лагранжу для одной переменной $\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\theta)$.

Следствие: если все частные производные равны нулю в области (связной), то $f=\mathrm{const}$.

Инвариантность. Формула $du=\sum_i u'_{x_i}\,dx_i$ верна и когда $x_i$ — независимые переменные, и когда $x_i$ сами функции других переменных $t_1,\dots,t_k$ (тогда $dx_i$ — их дифференциалы, а не произвольные приращения). Доказательство: $du=\sum_j u'_{t_j}dt_j=\sum_j\sum_i u'_{x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}dt_j=\sum_i u'_{x_i}\sum_j \frac{\partial x_i}{\partial t_j}dt_j=\sum_i u'_{x_i}dx_i$.

Второй дифференциал этим свойством не обладает (см. №6).

Подробно: глава 3, глава 2.

Определение. $f''_{xy}=(f'_x)'_y=\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ и т.д.; производные по разным переменным — смешанные.

Теорема (Шварц). Если $f''_{xy}$ и $f''_{yx}$ существуют в окрестности точки $M_0$ и непрерывны в $M_0$, то $f''_{xy}(M_0)=f''_{yx}(M_0)$. Следствие: для $f\in C^k$ смешанные производные до порядка $k$ не зависят от порядка дифференцирования.

Идея доказательства: вторая разность $W=f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)$. Если смотреть на неё как на приращение по $x$ функции $\varphi(x)=f(x,y+k)-f(x,y)$ и дважды применить Лагранжа, $W=f''_{xy}(\xi_1,\eta_1)hk$; в другом порядке $W=f''_{yx}(\xi_2,\eta_2)hk$. Поделить на $hk$, $h,k\to0$, непрерывность.

Без непрерывности может быть неверно: $f=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, $f(0,0)=0$: $f'_x(0,y)=-y$, $f'_y(x,0)=x$, откуда $f''_{xy}(0,0)=-1$, $f''_{yx}(0,0)=1$.

Подробно: глава 2.

Определение. $d^2u=d(du)$, $d^nu=d(d^{n-1}u)$, где при повторном дифференцировании приращения $dx,dy$ независимых переменных считаются постоянными.

Формулы ($f\in C^2$, $x,y$ — независимые):

$$d^2z=f''_{xx}\,dx^2+2f''_{xy}\,dx\,dy+f''_{yy}\,dy^2,\qquad d^nz=\left(dx\,\frac{\partial}{\partial x}+dy\,\frac{\partial}{\partial y}\right)^{n}z$$

(символическая степень раскрывается по биному, $\partial^k$ относится к $z$).

Неинвариантность $d^2$. Если $x,y$ — функции других переменных, то $d^2x,d^2y$ уже не нули:

$$d^2z=f''_{xx}dx^2+2f''_{xy}dx\,dy+f''_{yy}dy^2+f'_x\,d^2x+f'_y\,d^2y.$$

Добавка исчезает, если $x,y$ — линейные функции новых переменных; поэтому при линейной замене форма $d^2z$ сохраняется.

Подробно: глава 2, глава 3.

Теорема. Пусть $f\in C^{n+1}$ в выпуклой окрестности точки $M_0$, $M=M_0+\Delta$ из этой окрестности. Тогда

$$f(M)=f(M_0)+\frac{df(M_0)}{1!}+\frac{d^2f(M_0)}{2!}+\dots+\frac{d^nf(M_0)}{n!}+R_n,$$

где дифференциалы берутся при $dx_i=\Delta x_i$, а остаток в форме Лагранжа $R_n=\frac{d^{n+1}f(M_0+\theta\Delta)}{(n+1)!}$, $0<\theta<1$. В форме Пеано (достаточно $f\in C^n$): $R_n=o(\rho^n)$, $\rho=|\Delta|$.

Доказательство: $\varphi(t)=f(M_0+t\Delta)$, тогда $\varphi^{(k)}(0)=d^kf(M_0)$ (линейная замена — форма $d^k$ сохраняется); формула Тейлора для $\varphi$ на $[0,1]$ при $t=1$.

Для двух переменных до второго порядка:

$$f(x,y)\approx f+f'_x\Delta x+f'_y\Delta y+\tfrac12\left(f''_{xx}\Delta x^2+2f''_{xy}\Delta x\Delta y+f''_{yy}\Delta y^2\right),$$

все производные в $M_0$. Эта формула — основа достаточного условия экстремума.

Подробно: глава 4.

Определение. $M_0$ — точка (строгого) локального максимума, если в некоторой проколотой окрестности $f(M)<f(M_0)$ (для нестрогого $\le$). Минимум аналогично.

Необходимое условие. Если $f$ имеет экстремум в $M_0$ и частная производная $f'_{x_i}(M_0)$ существует, то она равна 0. Для дифференцируемой: $df(M_0)=0$, $\grad f(M_0)=\vec 0$. Доказательство: зафиксировать все переменные, кроме $x_i$; у функции одной переменной экстремум, по Ферма производная 0. Точки, где все $f'_{x_i}=0$, — стационарные; кандидаты — стационарные и точки, где производных нет.

Достаточное условие. $f\in C^2$ в окрестности стационарной точки $M_0$. Если $d^2f(M_0)$ как квадратичная форма от $dx_i$:

• положительно определена — строгий минимум;
• отрицательно определена — строгий максимум;
• знакопеременна — экстремума нет;
• полуопределена — нужно дополнительное исследование.

Определённость проверяют критерием Сильвестра. Для двух переменных: $A=f''_{xx}$, $B=f''_{xy}$, $C=f''_{yy}$ в $M_0$: $AC-B^2>0$ — экстремум (минимум при $A>0$, максимум при $A<0$); $AC-B^2<0$ — нет; $AC-B^2=0$ — сомнительный случай.

Идея: по Тейлору $\Delta f=\frac12 d^2f(M_0+\theta\Delta)$, знак определяется квадратичной формой.

Подробно: глава 5.

Экстремума нет, если: (1) в точке нарушено необходимое условие (какая-то частная производная существует и не равна 0); (2) точка стационарная, но $d^2f(M_0)$ знакопеременна — для двух переменных $AC-B^2<0$ (седло: вдоль одного направления функция растёт, вдоль другого убывает).

При $AC-B^2=0$ ничего сказать нельзя: исследуют знак $\Delta f$ напрямую (по прямым, кривым, через неравенства). Пример: $x^4+y^4$ — минимум, $x^3+y^4$ — нет, хотя у обеих все вторые производные в нуле равны 0.

Наибольшее и наименьшее значение. Непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве $\bar D$ их достигает (Вейерштрасс). Они достигаются либо во внутренних точках (тогда это стационарные точки или точки, где производных нет), либо на границе.

Подробно: глава 5.

Определение. Уравнение $F(x,y)=0$ задаёт неявно функцию $y=f(x)$ на интервале, если $F(x,f(x))\equiv0$ на нём.

Теорема. Пусть в окрестности $M_0(x_0,y_0)$: 1) $F(x_0,y_0)=0$; 2) $F$, $F'_x$, $F'_y$ непрерывны; 3) $F'_y(x_0,y_0)\ne0$. Тогда в некоторой окрестности $x_0$ существует единственная непрерывная функция $y=f(x)$, $f(x_0)=y_0$, $F(x,f(x))\equiv0$; она дифференцируема и

$$y'=-\frac{F'_x}{F'_y}.$$

Вывод формулы: продифференцировать тождество $F(x,y(x))\equiv0$: $F'_x+F'_y\,y'=0$.

Для $F(x,y,z)=0$ при $F'_z\ne0$: $z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z}$, $z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$. Для системы $F(x,y,u,v)=0$, $G(x,y,u,v)=0$ условие разрешимости относительно $u,v$: якобиан $\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\ne0$.

Смысл условия $F'_y\ne0$: касательная к кривой $F=0$ не вертикальна, поэтому кривая локально — график функции от $x$. В точках окружности $x^2+y^2=1$ с $y=0$ это нарушено.

Вторые производные — дифференцированием выражения для $y'$ (с учётом $y=y(x)$) или повторным дифференцированием тождества.

Подробно: глава 3.

Определение. Условный экстремум $f(x,y)$ при условии $\varphi(x,y)=0$ — экстремум $f$ среди точек, удовлетворяющих условию: $f(M)\le f(M_0)$ (для максимума) для всех $M$ из окрестности $M_0$, лежащих на кривой $\varphi=0$.

Метод Лагранжа. Функция Лагранжа $L(x,y,\lambda)=f+\lambda\varphi$. Необходимое условие (при $f,\varphi\in C^1$, $\grad\varphi(M_0)\ne\vec0$):

$$L'_x=0,\quad L'_y=0,\quad \varphi(x,y)=0.$$

Геометрия: в точке условного экстремума линия уровня $f$ касается кривой $\varphi=0$, то есть $\grad f\parallel\grad\varphi$: $\grad f=-\lambda\grad\varphi$.

Достаточное условие: знак $d^2L(M_0)$ при $dx,dy$, связанных условием $\varphi'_x\,dx+\varphi'_y\,dy=0$ (не обе нули): $d^2L>0$ — условный минимум, $<0$ — максимум.

Если из условия легко выразить $y=y(x)$, можно подставить в $f$ и искать обычный экстремум функции одной переменной.

Подробно: глава 5.

Определение. $\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k$; годограф — кривая, которую описывает конец вектора. Предел, непрерывность и производная — покоординатно:

$$\vec r\,'(t_0)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\vec r(t_0+\Delta t)-\vec r(t_0)}{\Delta t}=\big(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\big).$$

Смысл: секущая переходит в касательную, поэтому $\vec r\,'(t_0)\ne\vec0$ направлен по касательной; в механике это скорость. Правила: $(\vec a\cdot\vec b)'=\vec a\,'\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec b\,'$, $(\vec a\times\vec b)'=\vec a\,'\times\vec b+\vec a\times\vec b\,'$. Если $|\vec r(t)|=\mathrm{const}$, то $\vec r\perp\vec r\,'$ (продифференцировать $\vec r\cdot\vec r=c$).

Касательная прямая в точке $M_0=\vec r(t_0)$:

$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}.$$

Нормальная плоскость (перпендикулярна касательной): $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$.

Подробно: глава 4.

Определение. Касательная плоскость к поверхности в точке $M_0$ — плоскость, в которой лежат касательные ко всем гладким кривым на поверхности, проходящим через $M_0$. Нормаль — прямая через $M_0$, перпендикулярная касательной плоскости.

Теорема. Поверхность $F(x,y,z)=0$, $F$ дифференцируема в $M_0$, $\grad F(M_0)\ne\vec0$. Тогда касательная плоскость существует и

$$F'_x(M_0)(x-x_0)+F'_y(M_0)(y-y_0)+F'_z(M_0)(z-z_0)=0,\qquad \frac{x-x_0}{F'_x(M_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(M_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(M_0)}\ \text{— нормаль}.$$

Доказательство: для кривой $\vec r(t)$ на поверхности $F(x(t),y(t),z(t))\equiv0$; дифференцируем: $(\grad F,\vec r\,')=0$. Все касательные векторы перпендикулярны одному вектору $\grad F$ — значит, лежат в одной плоскости.

Для $z=f(x,y)$ ($F=f(x,y)-z$): $z-z_0=f'_x(x-x_0)+f'_y(y-y_0)$, нормаль $\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{-1}$.

Подробно: глава 4.

Мера Жордана (площадь). Покроем плоскость сеткой квадратов со стороной $h$. $s_*(h)$ — суммарная площадь квадратов, целиком лежащих в $D$; $s^*(h)$ — площадь квадратов, задевающих $D$ или её границу. При измельчении сетки $s_*$ не убывает, $s^*$ не возрастает. Нижняя мера $\mu_*(D)=\sup s_*$, верхняя $\mu^*(D)=\inf s^*$. $D$ измерима по Жордану (квадрируема), если $\mu_*=\mu^*$; это число — площадь $S(D)$.

Критерий: ограниченное $D$ измеримо $\Leftrightarrow$ его граница имеет меру 0 (покрывается конечным набором прямоугольников сколь угодно малой суммарной площади). Область, ограниченная конечным числом графиков непрерывных функций, измерима. Неизмеримо: множество точек квадрата с рациональными координатами ($\mu_*=0$, $\mu^*=1$).

Двойной интеграл. $D$ — измеримая ограниченная замкнутая область, $f$ ограничена на $D$. Разбиение $T$ на измеримые части $D_1,\dots,D_n$ площадей $\Delta S_i$, точки $P_i\in D_i$, ранг $\lambda=\max_i\operatorname{diam}D_i$. Интегральная сумма $\sigma=\sum f(P_i)\Delta S_i$.

$$\iint_D f(x,y)\,dS=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(P_i)\,\Delta S_i,$$

если предел существует и не зависит от разбиения и выбора точек. Смысл: при $f\ge0$ — объём цилиндрического тела под графиком над $D$; при $f=\mu$ (плотность) — масса пластинки.

Подробно: глава 6.

Суммы Дарбу. $m_i=\inf_{D_i}f$, $M_i=\sup_{D_i}f$; нижняя $s_T=\sum m_i\Delta S_i$, верхняя $S_T=\sum M_i\Delta S_i$. Свойства: $s_T\le\sigma\le S_T$; при измельчении $s_T$ не убывает, $S_T$ не возрастает; любая нижняя сумма не больше любой верхней.

Критерий интегрируемости: ограниченная $f$ интегрируема на $D$ $\Leftrightarrow$ $\lim\limits_{\lambda\to0}(S_T-s_T)=0$, то есть $\sum\omega_i\Delta S_i\to0$, $\omega_i=M_i-m_i$ — колебание.

Классы интегрируемых: необходимо — ограничена; достаточно — непрерывна на замкнутой измеримой $D$; или ограничена и её разрывы лежат на множестве меры 0 (например, на конечном числе гладких кривых).

Свойства интеграла:

• $\iint_D 1\,dS=S(D)$;
• линейность: $\iint(\alpha f+\beta g)=\alpha\iint f+\beta\iint g$;
• аддитивность: $D=D_1\cup D_2$ без общих внутренних точек $\Rightarrow$ $\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}$;
• монотонность: $f\le g\Rightarrow\iint_D f\le\iint_D g$; $\left|\iint f\right|\le\iint|f|$;
• оценка: $m\le f\le M$ на $D$ $\Rightarrow$ $m\,S(D)\le\iint_D f\le M\,S(D)$.

Подробно: глава 6.

Теорема (сведение к повторному). $D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$, $\varphi_1,\varphi_2$ непрерывны, $f$ непрерывна на $D$ (достаточно: интегрируема и при каждом $x$ существует внутренний интеграл). Тогда

$$\iint_D f\,dx\,dy=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy.$$

Аналогично для области, простой относительно $Ox$: $\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f\,dx$. Сложную область режут на простые (аддитивность). Равенство двух повторных — смена порядка интегрирования.

Идея доказательства (прямоугольник): на клетке $m_{ij}\Delta y_j\le\int f\,dy\le M_{ij}\Delta y_j$, суммируем и интегрируем по $x$: повторный интеграл зажат между суммами Дарбу.

Теорема о среднем. $f$ непрерывна на связной замкнутой измеримой $D$ $\Rightarrow$ $\exists P\in D$: $\iint_D f\,dS=f(P)\,S(D)$. Доказательство: $m\le\frac{1}{S(D)}\iint_D f\le M$, а непрерывная функция на связном множестве принимает все значения между $m$ и $M$.

Подробно: глава 6.

Криволинейные координаты. Взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ области $D'$ плоскости $uv$ на $D$. Пара $(u,v)$ — криволинейные координаты точки; линии $u=\mathrm{const}$, $v=\mathrm{const}$ — координатные линии.

Якобиан:

$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u&x'_v\\y'_u&y'_v\end{vmatrix}.$$

Смысл. Маленький прямоугольник $\Delta u\times\Delta v$ переходит почти в параллелограмм со сторонами $\vec r\,'_u\Delta u$, $\vec r\,'_v\Delta v$; его площадь $|\vec r\,'_u\times\vec r\,'_v|\Delta u\Delta v=|J|\Delta u\Delta v$. $|J|$ — коэффициент растяжения площади.

$$dS=|J|\,du\,dv,\qquad S(D)=\iint_{D'}|J(u,v)|\,du\,dv.$$

Примеры: полярные $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$: $J=r$; обобщённые полярные $x=ar\cos\varphi$, $y=br\sin\varphi$: $J=abr$.

Подробно: глава 6.

Теорема. Пусть отображение $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ непрерывно дифференцируемо на замкнутой измеримой $D'$, взаимно однозначно переводит $D'$ в $D$ (допускается нарушение на множестве площади 0), $J\ne0$ внутри $D'$; $f$ непрерывна на $D$. Тогда

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'}f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J(u,v)|\,du\,dv.$$

Идея: разбить $D'$ на маленькие прямоугольники; их образы разбивают $D$, площадь образа $\approx|J|\Delta u\Delta v$ (см. №17); интегральная сумма для левой части переходит в сумму для правой.

Полярные: $\iint_D f\,dx\,dy=\iint_{D'}f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\,r\,dr\,d\varphi$. Удобны, когда область — круг, сектор, кольцо или в подынтегральной функции есть $x^2+y^2$.

Подробно: глава 6.

Определение. $D$ неограничена, $f$ интегрируема на любой ограниченной измеримой части $D$. Возьмём исчерпание: ограниченные измеримые $D_1\subset D_2\subset\dots$, $\bigcup D_n=D$, причём расстояние от начала координат до $D\setminus D_n$ стремится к $\infty$. Тогда

$$\iint_D f\,dS=\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f\,dS,$$

если предел существует, конечен и не зависит от выбора исчерпания; интеграл сходится.

Факты: для $f\ge0$ достаточно проверить одно исчерпание (пределы для всех исчерпаний одинаковы). В отличие от одномерного случая, двойной несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится абсолютно. Работает признак сравнения.

Эталон: $\iint_{x^2+y^2\ge1}\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2)^{\alpha/2}}=2\pi\int_1^{\infty}r^{1-\alpha}dr$ сходится $\Leftrightarrow\alpha>2$.

Пример (Пуассон): $\iint_{\R^2}e^{-x^2-y^2}dx\,dy=\lim_{R\to\infty}\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R e^{-r^2}r\,dr=\pi$. Исчерпание квадратами даёт $\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^2$, откуда $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$.

Подробно: глава 6.

Определение. $D$ ограничена, $f$ не ограничена в любой окрестности точки $P_0$ (или линии), но интегрируема на $D$ без любой окрестности $U_\varepsilon$ особенности. Тогда

$$\iint_D f\,dS=\lim_{\varepsilon\to0}\iint_{D\setminus U_\varepsilon}f\,dS,$$

если предел существует и не зависит от формы стягивающихся окрестностей.

Как и в №19: сходимость равносильна абсолютной, есть признак сравнения; для $f\ge0$ достаточно одного способа стягивания.

Эталон: $\iint_{x^2+y^2\le1}\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2)^{\alpha/2}}=2\pi\int_0^1 r^{1-\alpha}dr$ сходится $\Leftrightarrow\alpha<2$. (Сравни с №19: там $\alpha>2$. В пространстве граница — 3.)

Подробно: глава 6.

Определение — как у двойного: тело $T$ (измеримое по Жордану в $\R^3$) разбивается на части объёмов $\Delta V_i$, $\iiint_T f\,dV=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum f(P_i)\Delta V_i$. Свойства (линейность, аддитивность, оценки, теорема о среднем) те же; $\iiint_T dV=V(T)$. Смысл при $f=\mu$ — масса тела.

Вычисление. Если $T=\{(x,y)\in D_{xy},\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$, $D_{xy}$ — проекция на $Oxy$, $f$ непрерывна:

$$\iiint_T f\,dV=\iint_{D_{xy}}dx\,dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz,$$

затем двойной сводится к повторному — итого три определённых интеграла. Другой способ — по сечениям: $\int_a^b dz\iint_{D(z)}f\,dx\,dy$, $D(z)$ — сечение тела плоскостью на высоте $z$.

Подробно: глава 7.

Теорема (условия как в №18): $\iiint_T f\,dx\,dy\,dz=\iiint_{T'}f\big(x(u,v,w),y(\dots),z(\dots)\big)\,|J|\,du\,dv\,dw$, $J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$ — определитель $3\times3$.

Система	Формулы	$|J|$
цилиндрические	$x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi,\ z=z$	$r$
сферические (угол $\theta$ от $Oz$, $0\le\theta\le\pi$)	$x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\ y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\ z=\rho\cos\theta$	$\rho^2\sin\theta$
сферические (широта $\psi$ от $Oxy$, $-\frac\pi2\le\psi\le\frac\pi2$)	$x=\rho\cos\psi\cos\varphi,\ y=\rho\cos\psi\sin\varphi,\ z=\rho\sin\psi$	$\rho^2\cos\psi$

Когда что: цилиндрические — тела вращения вокруг оси, цилиндры, параболоиды; сферические — шары, конусы с вершиной в начале координат. Проверка: объём шара $\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^R\rho^2d\rho=\frac43\pi R^3$.

Подробно: глава 7, переход в координаты — глава 0.

• Площадь: $S=\iint_D dx\,dy$. Объём: $V=\iiint_T dV$, или $V=\iint_D\big(z_2(x,y)-z_1(x,y)\big)dx\,dy$.
• Масса: пластинки $m=\iint_D\mu\,dS$, тела $m=\iiint_T\mu\,dV$.
• Статические моменты пластинки: $M_x=\iint_D y\,\mu\,dS$, $M_y=\iint_D x\,\mu\,dS$; тела относительно координатных плоскостей: $M_{yz}=\iiint x\mu\,dV$, $M_{xz}=\iiint y\mu\,dV$, $M_{xy}=\iiint z\mu\,dV$.
• Центр масс: $x_c=\frac{M_y}{m}$, $y_c=\frac{M_x}{m}$ (пластинка); $x_c=\frac{M_{yz}}{m}$, $y_c=\frac{M_{xz}}{m}$, $z_c=\frac{M_{xy}}{m}$ (тело). Для однородных тел с симметрией центр лежит на оси/плоскости симметрии.
• Потенциал гравитационного поля тела в точке $M_0$: $U(M_0)=G\iiint_T\frac{\mu(M)\,dV}{r}$, $r=|M_0M|$; сила, действующая на единичную массу в $M_0$: $\vec F=\grad U$. (Знак и множитель $G$ зависят от соглашения.)

Откуда формулы: всё получается одной схемой — величина аддитивна, для маленького кусочка она равна «плотность × размер», суммируем и переходим к пределу.

Подробно: глава 7, глава 6.

Момент инерции относительно оси $l$: $I_l=\iiint_T d^2(M,l)\,\mu\,dV$, $d$ — расстояние до оси. В координатах: $I_z=\iiint(x^2+y^2)\mu\,dV$ (аналогично $I_x,I_y$); относительно начала координат $I_O=\iiint(x^2+y^2+z^2)\mu\,dV$; относительно плоскости $I_{xy}=\iiint z^2\mu\,dV$. Пластинка: $I_x=\iint y^2\mu\,dS$, $I_y=\iint x^2\mu\,dS$, $I_O=I_x+I_y$.

Теорема Штейнера. $I_l=I_{l_C}+m\,d^2$, где $l_C\parallel l$ проходит через центр масс $C$, $d$ — расстояние между осями, $m$ — масса.

Доказательство: выберем оси так, что $l_C=Oz$, а $l$ проходит через $(d,0)$ параллельно $Oz$. Тогда

$$I_l=\iiint\big((x-d)^2+y^2\big)\mu\,dV=I_{l_C}-2d\iiint x\mu\,dV+d^2m,$$

и $\iiint x\mu\,dV=m\,x_C=0$, так как $C$ на оси $Oz$.

Следствие: среди параллельных осей наименьший момент — у оси через центр масс. Проверка: однородный диск радиуса 1, плотность 1: $I_{l_C}=\frac\pi2$, относительно оси на расстоянии $d$ получаем $\pi\left(\frac12+d^2\right)$.

Подробно: глава 7.

Определение. Длина кривой — точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных; если она конечна, кривая спрямляема. Гладкая кривая ($\vec r(t)\in C^1$, $\vec r\,'\ne\vec0$) спрямляема.

Задание кривой	Длина $L$
$\vec r(t)$, $t\in[\alpha,\beta]$	$\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt$
$y=f(x)$, $x\in[a,b]$	$\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$
$r=r(\varphi)$, $\varphi\in[\varphi_1,\varphi_2]$	$\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+r'^2}\,d\varphi$

Дифференциал дуги: $l(t)=\int_\alpha^t|\vec r\,'(\tau)|d\tau$ — переменная длина дуги, $l'(t)=|\vec r\,'(t)|$, поэтому

$$dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=|\vec r\,'(t)|\,dt.$$

Идея: звено ломаной $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{x'(\xi)^2+y'(\eta)^2}\,\Delta t$ (Лагранж), сумма переходит в интеграл.

Подробно: глава 8.

Определение. Кривая $L$ спрямляема, $f$ задана на ней. Разбиваем $L$ на дуги длин $\Delta l_i$, точки $M_i$ на дугах: $\int_L f\,dl=\lim\limits_{\max\Delta l_i\to0}\sum f(M_i)\Delta l_i$. Не зависит от направления обхода ($\Delta l_i>0$).

Сведение к определённому ($L$ гладкая, $f$ непрерывна):

$$\int_L f\,dl=\int_\alpha^\beta f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt,\qquad \alpha<\beta.$$

Для $y=y(x)$: $\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2}\,dx$; в полярных $r=r(\varphi)$: $\int f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\sqrt{r^2+r'^2}\,d\varphi$. Нижний предел всегда меньше верхнего.

Приложения: длина $L=\int_L dl$; масса дуги $m=\int_L\mu\,dl$; статические моменты $M_x=\int_L y\mu\,dl$, $M_y=\int_L x\mu\,dl$; центр масс $x_c=M_y/m$, $y_c=M_x/m$; моменты инерции $I_x=\int_L y^2\mu\,dl$ и т.д.; площадь цилиндрической поверхности с направляющей $L$ в $Oxy$ и высотой $f(x,y)\ge0$: $\int_L f\,dl$.

Подробно: глава 8.

Определение. Гладкая поверхность двусторонняя, если при обходе по любому замкнутому контуру на поверхности, не пересекающему её край, нормаль, непрерывно перемещаясь, возвращается в исходное направление. Если есть контур, после обхода которого нормаль меняет направление на противоположное, поверхность односторонняя. Пример односторонней — лист Мёбиуса.

Сторона (ориентация) двусторонней поверхности — выбор непрерывного поля единичных нормалей $\vec n$. Сторон две: $\vec n$ и $-\vec n$. Для замкнутой поверхности — внешняя и внутренняя.

Для $z=f(x,y)$:

$$\vec n=\pm\frac{(-f'_x,\,-f'_y,\,1)}{\sqrt{1+f'^2_x+f'^2_y}},$$

«+» — верхняя сторона ($\cos\gamma>0$), «−» — нижняя. Для $F(x,y,z)=0$: $\vec n=\pm\frac{\grad F}{|\grad F|}$.

Согласованная ориентация края: обходим край так, что наблюдатель, у которого нормаль идёт от ног к голове, видит поверхность слева (правило правого винта). Это нужно в теореме Стокса.

Подробно: глава 9.

Смысл примера. Длину кривой определяют как предел длин вписанных ломаных. Для площади поверхности аналог — предел площадей вписанных многогранников — не работает, и пример Шварца («сапог Шварца») это показывает.

Конструкция. Цилиндр радиуса $R$, высоты $H$. Делим высоту на $m$ равных частей, каждую окружность сечения — на $n$ равных дуг, причём на соседних уровнях точки деления сдвинуты на половину дуги. Соединяя точки, получаем вписанный многогранник из $2mn$ одинаковых треугольников. Основание треугольника $2R\sin\frac\pi n$, высота $\sqrt{\left(\frac Hm\right)^2+R^2\left(1-\cos\frac\pi n\right)^2}$. Площадь многогранника

$$S_{m,n}=2\pi R\cdot\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\sqrt{H^2+4R^2m^2\sin^4\frac{\pi}{2n}}.$$

Вывод: при $m,n\to\infty$ и $\frac{m}{n^2}\to q$ предел равен $2\pi R\sqrt{H^2+\frac{\pi^4R^2q^2}{4}}$: при $q=0$ — истинная площадь $2\pi RH$, при $q>0$ — больше, при $\frac{m}{n^2}\to\infty$ — бесконечность. Треугольники становятся всё мельче, но не приближаются по наклону к касательной плоскости (они «гофрированы»). Поэтому площадь поверхности определяют через касательные плоскости (№29).

Подробно: глава 9.

Определение (через касательные плоскости). Разбиваем поверхность на кусочки, в каждом берём точку и заменяем кусочек куском касательной плоскости, проектирующимся в ту же область. Площадь — предел суммы площадей этих кусков при стягивании кусочков. Кусок касательной плоскости над площадкой $\Delta S_{xy}$ имеет площадь $\frac{\Delta S_{xy}}{|\cos\gamma|}$, где $\gamma$ — угол нормали с $Oz$.

Формулы:

$$z=f(x,y),\ (x,y)\in D:\qquad S=\iint_D\sqrt{1+f'^2_x+f'^2_y}\,dx\,dy;$$ $$\vec r=\vec r(u,v),\ (u,v)\in D':\qquad S=\iint_{D'}|\vec r\,'_u\times\vec r\,'_v|\,du\,dv=\iint_{D'}\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,$$

$E=\vec r\,'^2_u$, $F=\vec r\,'_u\cdot\vec r\,'_v$, $G=\vec r\,'^2_v$. Для $F(x,y,z)=0$: $dS=\frac{|\grad F|}{|F'_z|}dx\,dy$.

Условия: поверхность гладкая ($f\in C^1$ или $\vec r\,'_u\times\vec r\,'_v\ne\vec0$), $D$ измерима.

Подробно: глава 9.

Определение. $\iint_S f\,dS=\lim\sum f(M_i)\Delta S_i$, $\Delta S_i$ — площади кусочков поверхности. От выбора стороны не зависит.

Сведение к двойному ($S$: $z=z(x,y)$, $(x,y)\in D_{xy}$, $z\in C^1$, $f$ непрерывна):

$$\iint_S f(x,y,z)\,dS=\iint_{D_{xy}}f\big(x,y,z(x,y)\big)\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}\,dx\,dy.$$

Параметрически: $\iint_{D'}f(\vec r(u,v))\,|\vec r\,'_u\times\vec r\,'_v|\,du\,dv$. Если поверхность неоднозначно проектируется на $Oxy$, проектируют на другую плоскость или режут на куски.

Приложения: площадь $S=\iint_S dS$; масса оболочки $m=\iint_S\mu\,dS$; статические моменты $M_{xy}=\iint_S z\mu\,dS$ и т.д.; центр масс $z_c=M_{xy}/m$; моменты инерции $I_z=\iint_S(x^2+y^2)\mu\,dS$.

Подробно: глава 9.

Скалярное поле — функция точки $u=u(M)$ в области пространства (температура, давление, потенциал). Поверхности уровня $u(x,y,z)=C$ (на плоскости — линии уровня).

Производная по направлению $\vec l$, $\vec l_0=\frac{\vec l}{|\vec l|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$:

$$\frac{\partial u}{\partial l}(M_0)=\lim_{t\to+0}\frac{u(M_0+t\,\vec l_0)-u(M_0)}{t}$$

— скорость изменения поля в направлении $\vec l$.

Теорема. Если $u$ дифференцируема в $M_0$, то

$$\frac{\partial u}{\partial l}=u'_x\cos\alpha+u'_y\cos\beta+u'_z\cos\gamma.$$

Доказательство: по определению дифференцируемости $\Delta u=u'_x\,t\cos\alpha+u'_y\,t\cos\beta+u'_z\,t\cos\gamma+o(t)$, делим на $t$.

Частные производные — производные по направлениям осей.

Подробно: глава 4, глава 10.

Определение. $\grad u=u'_x\vec i+u'_y\vec j+u'_z\vec k=\nabla u$.

Связь с производной по направлению: $\frac{\partial u}{\partial l}=(\grad u,\vec l_0)=|\grad u|\cos\varphi$, $\varphi$ — угол между $\grad u$ и $\vec l$. Отсюда:

• градиент указывает направление наибольшего роста поля, и наибольшая скорость роста равна $|\grad u|$;
• в направлении, перпендикулярном градиенту, производная 0;
• $\grad u(M_0)$ перпендикулярен поверхности (линии) уровня через $M_0$ (см. №13).

Правила: $\grad(c_1u+c_2v)=c_1\grad u+c_2\grad v$; $\grad(uv)=u\grad v+v\grad u$; $\grad f(u)=f'(u)\grad u$.

Приближённое вычисление: $u(M)\approx u(M_0)+(\grad u(M_0),\overrightarrow{M_0M})$ — это $u(M_0)+du$. Пример: $\sqrt{x^2+y^2}$ в $(3{,}02;\,3{,}97)$: $\grad=(0{,}6;\,0{,}8)$ в $(3,4)$, значение $\approx5+0{,}6\cdot0{,}02-0{,}8\cdot0{,}03=4{,}988$.

Подробно: глава 4, глава 10.

Векторное поле $\vec a(M)=P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ (скорость жидкости, сила). Векторная линия — кривая, в каждой точке которой $\vec a$ направлен по касательной. Уравнения: $\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}$. Векторная трубка — поверхность, составленная из векторных линий, проходящих через замкнутый контур.

Дивергенция:

$$\div\vec a=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\nabla\cdot\vec a.$$

Физический смысл (инвариантное определение, см. №45): $\div\vec a(M)=\lim\limits_{T\to M}\frac{1}{V(T)}\oiint_{S}a_n\,dS$ — плотность источников: поток из маленького объёма на единицу объёма. $\div>0$ — источник, $<0$ — сток.

Свойства: $\div(c_1\vec a+c_2\vec b)=c_1\div\vec a+c_2\div\vec b$; $\div\vec c=0$ для постоянного $\vec c$; $\div(u\vec a)=u\div\vec a+(\grad u,\vec a)$; $\div\vec r=3$.

Подробно: глава 10.

Ротор (вихрь):

$$\rot\vec a=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R\end{vmatrix}=\left(R'_y-Q'_z\right)\vec i+\left(P'_z-R'_x\right)\vec j+\left(Q'_x-P'_y\right)\vec k.$$

Физический смысл: проекция ротора на $\vec n$ — плотность циркуляции в плоскости, перпендикулярной $\vec n$ (№43). Для твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью $\vec\omega$, $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ и $\rot\vec v=2\vec\omega$. Маленькая «вертушка» в поле крутится, если $\rot\ne\vec0$.

Свойства: линейность; $\rot(u\vec a)=u\rot\vec a+\grad u\times\vec a$; $\rot\grad u=\vec0$; $\div\rot\vec a=0$ (при $C^2$, смешанные производные равны).

Оператор Гамильтона $\nabla=\vec i\frac{\partial}{\partial x}+\vec j\frac{\partial}{\partial y}+\vec k\frac{\partial}{\partial z}$: $\grad u=\nabla u$, $\div\vec a=\nabla\cdot\vec a$, $\rot\vec a=\nabla\times\vec a$, оператор Лапласа $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$. С $\nabla$ обращаются как с вектором, но помня, что он дифференцирует: $\nabla\times\nabla u=\vec0$, $\nabla\cdot(\nabla\times\vec a)=0$.

Подробно: глава 10.

Определение. Ориентированная кривая $AB$, разбиение точками $A=M_0,M_1,\dots,M_n=B$, $\Delta x_i,\Delta y_i,\Delta z_i$ — приращения координат, $\xi_i$ — точки на дугах:

$$\int_{AB}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\lim_{\lambda\to0}\sum_i\big(P(\xi_i)\Delta x_i+Q(\xi_i)\Delta y_i+R(\xi_i)\Delta z_i\big).$$

Свойство: при смене направления знак меняется: $\int_{BA}=-\int_{AB}$.

Существование и вычисление. Если $AB$ — гладкая (кусочно-гладкая) кривая $\vec r(t)$, $t$ от $\alpha$ (точка $A$) до $\beta$ (точка $B$), а $P,Q,R$ непрерывны на ней, то интеграл существует и

$$\int_{AB}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_\alpha^\beta\big(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\big)dt,$$

где $P,Q,R$ взяты в точке $\vec r(t)$. Здесь $\alpha$ может быть больше $\beta$: пределы определяются направлением, в отличие от 1 рода. Для $y=y(x)$: $\int_a^b\big(P+Q\,y'(x)\big)dx$.

Подробно: глава 8.

Связь. Пусть $\vec\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ — единичный касательный вектор в направлении обхода. Так как $dx=\cos\alpha\,dl$, $dy=\cos\beta\,dl$, $dz=\cos\gamma\,dl$,

$$\int_{AB}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{AB}\big(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\big)\,dl=\int_{AB}(\vec a,\vec\tau)\,dl.$$

Справа интеграл 1 рода; при смене направления $\vec\tau$ меняет знак — отсюда смена знака интеграла 2 рода.

Работа силы $\vec F$ вдоль пути $AB$: на маленьком участке $\Delta A\approx(\vec F,\Delta\vec r)$, поэтому

$$A=\int_{AB}(\vec F,d\vec r)=\int_{AB}F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz.$$

Циркуляция — тот же интеграл по замкнутому контуру: $\oint_L(\vec a,d\vec r)$.

Подробно: глава 8.

Теорема (плоскость). Пусть $D$ — односвязная область, $P,Q$ непрерывны вместе с $P'_y,Q'_x$ в $D$. Следующие условия равносильны:

1. $\oint_L P\,dx+Q\,dy=0$ по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру $L\subset D$;
2. $\int_{AB}P\,dx+Q\,dy$ не зависит от пути из $A$ в $B$ в $D$;
3. $P\,dx+Q\,dy=du$ — полный дифференциал некоторой $u(x,y)$ в $D$;
4. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ всюду в $D$.

Идея: 1⇔2 — два пути из $A$ в $B$ образуют замкнутый контур; 2⇒3 — $u(M)=\int_{M_0}^M$ и $u'_x=P$, $u'_y=Q$; 3⇒4 — равенство смешанных производных $u''_{xy}=u''_{yx}$; 4⇒1 — формула Грина (№39). Тогда $\int_{AB}=u(B)-u(A)$.

Односвязность важна: поле $\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ удовлетворяет условию 4 вне нуля, но по окружности вокруг нуля интеграл равен $2\pi$.

В пространстве: в поверхностно односвязной области то же с условием $\rot\vec a=\vec0$: $P'_y=Q'_x$, $Q'_z=R'_y$, $R'_x=P'_z$ (через теорему Стокса).

Подробно: глава 8.

Признак. $P\,dx+Q\,dy$ ($P,Q\in C^1$ в односвязной $D$) — полный дифференциал $\Leftrightarrow$ $P'_y=Q'_x$. В пространстве для $P\,dx+Q\,dy+R\,dz$: $P'_y=Q'_x$, $Q'_z=R'_y$, $R'_x=P'_z$. Необходимость: если $du=P\,dx+Q\,dy$, то $P'_y=u''_{xy}=u''_{yx}=Q'_x$ (Шварц).

Восстановление. Так как интеграл не зависит от пути, берём ломаную со звеньями, параллельными осям, из фиксированной точки $(x_0,y_0)$:

$$u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(t,y_0)\,dt+\int_{y_0}^{y}Q(x,t)\,dt+C.$$

В пространстве: $u=\int_{x_0}^xP(t,y_0,z_0)dt+\int_{y_0}^yQ(x,t,z_0)dt+\int_{z_0}^zR(x,y,t)dt+C$.

Другой способ: $u=\int P\,dx+\varphi(y)$, функцию $\varphi$ найти из $u'_y=Q$. Проверка ответа: $du$ должен совпасть с исходным выражением.

Подробно: глава 8.

Теорема. $D$ — ограниченная область, её граница $L$ — кусочно-гладкий замкнутый контур (или несколько); $P,Q,P'_y,Q'_x$ непрерывны в $\bar D$. Тогда

$$\oint_{L^+}P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy,$$

$L^+$ — положительный обход: область остаётся слева (внешний контур — против часовой стрелки, внутренние — по часовой).

Доказательство для $D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$:

$$-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy=-\int_a^b\big(P(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\big)dx=\oint_{L^+}P\,dx$$

(нижняя дуга проходится слева направо, верхняя — справа налево, на вертикальных отрезках $dx=0$). Аналогично $\iint Q'_x=\oint Q\,dy$. Сложную область режут на простые: интегралы по разрезам сокращаются.

Следствие — площадь: $S=\frac12\oint_{L^+}x\,dy-y\,dx=\oint_{L^+}x\,dy$.

Подробно: глава 8.

Определение. $S$ — двусторонняя гладкая поверхность с выбранной стороной (нормаль $\vec n$). Разбиваем на кусочки $S_i$; $(\Delta S_i)_{xy}$ — площадь проекции кусочка на $Oxy$, взятая со знаком «+», если на нём $\cos\gamma>0$, и «−», если $\cos\gamma<0$. Тогда

$$\iint_S R\,dx\,dy=\lim_{\lambda\to0}\sum R(M_i)(\Delta S_i)_{xy},$$

аналогично $\iint P\,dy\,dz$, $\iint Q\,dz\,dx$; общий вид $\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$.

Связь с 1 родом: $dy\,dz=\cos\alpha\,dS$, $dz\,dx=\cos\beta\,dS$, $dx\,dy=\cos\gamma\,dS$, где $\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ — нормаль выбранной стороны:

$$\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iint_S\big(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\big)dS=\iint_S(\vec a,\vec n)\,dS.$$

При смене стороны $\vec n\to-\vec n$, интеграл меняет знак.

Подробно: глава 9.

Через проекции. Если $S$: $z=z(x,y)$, $(x,y)\in D_{xy}$, то

$$\iint_S R(x,y,z)\,dx\,dy=\pm\iint_{D_{xy}}R\big(x,y,z(x,y)\big)\,dx\,dy,$$

«+» для верхней стороны, «−» для нижней. Слагаемые с $dy\,dz$ и $dz\,dx$ — проекциями на $Oyz$ и $Ozx$ (если поверхность проектируется однозначно; если она перпендикулярна плоскости проекции, слагаемое равно 0).

Через одну проекцию: для $z=z(x,y)$ с верхней стороной $\vec n\,dS=(-z'_x,-z'_y,1)\,dx\,dy$, поэтому

$$\iint_S(\vec a,\vec n)\,dS=\iint_{D_{xy}}\big(-P\,z'_x-Q\,z'_y+R\big)\,dx\,dy.$$

Поток поля $\vec a$ через $S$ в сторону $\vec n$: $\Pi=\iint_S(\vec a,\vec n)\,dS=\iint_S a_n\,dS$. Смысл: если $\vec a=\vec v$ — скорость жидкости, $\Pi$ — объём жидкости, протекающей через $S$ в выбранную сторону за единицу времени (за время $\Delta t$ через площадку проходит наклонный цилиндр объёма $v_n\,\Delta S\,\Delta t$).

Подробно: глава 9, глава 10.

Теорема. $S$ — кусочно-гладкая двусторонняя поверхность с краем $L$ (кусочно-гладкий контур), ориентация $L$ согласована со стороной $S$ (№27); $P,Q,R$ непрерывны вместе с частными производными первого порядка в области, содержащей $S$. Тогда

$$\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_S\left(R'_y-Q'_z\right)dy\,dz+\left(P'_z-R'_x\right)dz\,dx+\left(Q'_x-P'_y\right)dx\,dy.$$

Удобная запись: справа $\iint_S\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}dS$.

Идея доказательства: для слагаемого $\oint P\,dx$ и поверхности $z=f(x,y)$: на $L$ подставить $z=f(x,y)$, получить плоский интеграл по проекции контура, применить Грина и вернуться к поверхности.

Частный случай: $S$ — плоская область в $Oxy$, $\vec n=\vec k$ — получается формула Грина.

Применение: (1) циркуляцию по сложному пространственному контуру считают через поток ротора по простой поверхности, натянутой на контур (кусок плоскости); (2) если $\rot\vec a=\vec0$ в поверхностно односвязной области, то $\oint=0$, интеграл не зависит от пути и $P\,dx+Q\,dy+R\,dz=du$ (№37, №49).

Подробно: глава 10.

Векторная форма (условия как в №42):

$$\oint_L(\vec a,d\vec r)=\iint_S(\rot\vec a,\vec n)\,dS$$

— циркуляция поля по контуру равна потоку ротора через любую поверхность, натянутую на контур.

Инвариантное определение: $(\rot\vec a(M),\vec n)=\lim\limits_{S_\varepsilon\to M}\frac{1}{|S_\varepsilon|}\oint_{L_\varepsilon}(\vec a,d\vec r)$, где $S_\varepsilon$ — плоская площадка через $M$, перпендикулярная $\vec n$. Вывод — Стокс + теорема о среднем. Значит, $\rot$ не зависит от системы координат.

Полный образцовый ответ — ниже, в разборе билета. Подробно: глава 10.

Теорема. $T$ — ограниченное тело, его граница $S$ — кусочно-гладкая замкнутая поверхность; $P,Q,R$ непрерывны вместе с $P'_x,Q'_y,R'_z$ в $\bar T$. Тогда

$$\oiint_{S}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint_T\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz,$$

интеграл по внешней стороне $S$.

Доказательство для $T=\{(x,y)\in D,\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$:

$$\iiint_T R'_z\,dV=\iint_D\big(R(x,y,z_2)-R(x,y,z_1)\big)dx\,dy=\iint_{S_2}R\,dx\,dy+\iint_{S_1}R\,dx\,dy,$$

$S_2$ — верхняя крышка (внешняя сторона — верхняя, знак «+»), $S_1$ — нижняя (внешняя сторона — нижняя, знак «−»); на боковой цилиндрической части $dx\,dy=0$. Так же для $P$ и $Q$, тело общего вида режут на простые.

Применение: поток через замкнутую поверхность (поверхность тетраэдра в РГР2) считают одним тройным интегралом.

Подробно: глава 10.

Векторная форма: поток поля через замкнутую поверхность наружу равен интегралу от дивергенции по телу:

$$\oiint_S(\vec a,\vec n)\,dS=\iiint_T\div\vec a\,dV.$$

Связь с Грином. Плоский аналог: для поля $(P,Q)$ в области $D$ с внешней нормалью $\vec n$ к контуру $L$ ($n\,dl=(dy,-dx)$ при положительном обходе) формула Грина, применённая к $-Q\,dx+P\,dy$, даёт

$$\oint_L(\vec a,\vec n)\,dl=\oint_{L^+}P\,dy-Q\,dx=\iint_D\left(P'_x+Q'_y\right)dx\,dy$$

— «поток через контур = интеграл дивергенции». Остроградский — то же в пространстве.

Инвариантное определение. $M$ — точка, $T_\varepsilon$ — тело, содержащее $M$ и стягивающееся к ней, $S_\varepsilon$ — его граница. По Остроградскому и теореме о среднем $\oiint_{S_\varepsilon}a_n\,dS=\div\vec a(M_\varepsilon)\,V(T_\varepsilon)$, $M_\varepsilon\in T_\varepsilon$; по непрерывности

$$\div\vec a(M)=\lim_{T_\varepsilon\to M}\frac{1}{V(T_\varepsilon)}\oiint_{S_\varepsilon}a_n\,dS.$$

Справа нет координат, поэтому $\div$ не зависит от системы координат; смысл — плотность источников.

Подробно: глава 10.

Незамкнутая поверхность. Если $S$ не замкнута, её «закрывают» простыми кусками $S_1$ (куски координатных плоскостей, круги), так что $S\cup S_1$ ограничивает тело $T$:

$$\iint_S=\iiint_T\div\vec a\,dV-\iint_{S_1}$$

(все стороны внешние для $T$). Удобно, когда $\div\vec a$ простая, а $S$ сложная.

Независимость от поверхности. Пусть $\div\vec a=0$ в объёмно односвязной области $G$. Тогда поток через поверхность $S\subset G$, натянутую на контур $L$, зависит только от $L$ (и согласованной ориентации), а не от формы $S$. Доказательство: две поверхности $S',S''$ с общим краем вместе ограничивают тело; по Остроградскому поток наружу через $S'\cup S''$ равен $\iiint\div\vec a=0$, а значит, потоки через $S'$ и $S''$ в согласованную сторону равны.

Верно и обратное: если поток через любую замкнутую поверхность в $G$ равен 0, то $\div\vec a=0$ (из инвариантного определения).

Подробно: глава 10.

Определение. $S$ — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело $T$, $\vec n$ — внешняя нормаль, $M_0$ — фиксированная точка, $\vec r=\overrightarrow{M_0M}$, $r=|\vec r|$:

$$I(M_0)=\oiint_S\frac{\cos(\vec r,\vec n)}{r^2}\,dS=\oiint_S\left(\frac{\vec r}{r^3},\vec n\right)dS.$$

Теорема: $I=0$, если $M_0$ вне $T$; $I=4\pi$, если $M_0$ внутри $T$ (если $M_0$ на гладкой части $S$, то $2\pi$).

Доказательство. Поле $\vec a=\frac{\vec r}{r^3}$ при $r\ne0$ соленоидально: $\div\frac{\vec r}{r^3}=0$. Если $M_0\notin\bar T$, по Остроградскому $I=0$. Если $M_0$ внутри, вырежем маленький шар $|\vec r|\le\varepsilon$ со сферой $S_\varepsilon$: в оставшемся теле $\div=0$, поэтому поток через $S$ равен потоку через $S_\varepsilon$ наружу. На сфере $\vec n=\frac{\vec r}{r}$, $(\vec a,\vec n)=\frac{1}{\varepsilon^2}$, поток $=\frac{4\pi\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=4\pi$.

Смысл: $\frac{\cos(\vec r,\vec n)\,dS}{r^2}$ — телесный угол, под которым видна площадка из $M_0$; изнутри замкнутая поверхность видна под полным углом $4\pi$. Физически — теорема Гаусса для поля точечного заряда.

Подробно: глава 10.

Условия: $T$ — тело с кусочно-гладкой границей $S$, $\vec n$ — внешняя нормаль, $u,v$ дважды непрерывно дифференцируемы в $\bar T$; $\frac{\partial v}{\partial n}=(\grad v,\vec n)$ — производная по внешней нормали.

Первая формула Грина:

$$\iiint_T u\,\Delta v\,dV=\oiint_S u\,\frac{\partial v}{\partial n}\,dS-\iiint_T(\grad u,\grad v)\,dV.$$

Вторая формула Грина:

$$\iiint_T\big(u\,\Delta v-v\,\Delta u\big)\,dV=\oiint_S\left(u\,\frac{\partial v}{\partial n}-v\,\frac{\partial u}{\partial n}\right)dS.$$

Доказательство: Остроградский для $\vec a=u\grad v$: $\div(u\grad v)=(\grad u,\grad v)+u\Delta v$ и $(\vec a,\vec n)=u\frac{\partial v}{\partial n}$ — это первая формула. Вторая — вычесть из первой её же с переставленными $u,v$.

Следствия: при $u=1$: $\iiint_T\Delta v\,dV=\oiint_S\frac{\partial v}{\partial n}dS$; для гармонической $v$ ($\Delta v=0$) поток градиента через замкнутую поверхность равен 0.

Подробно: глава 10.

Определение. Поле $\vec a$ потенциально в области $G$, если $\vec a=\grad u$ для некоторой функции $u$ — потенциала (в физике часто $\vec a=-\grad\varphi$). Потенциал определён с точностью до константы.

Теорема. В поверхностно односвязной области $G$ для $\vec a\in C^1$ равносильно:

1. $\vec a=\grad u$;
2. $\rot\vec a=\vec0$ (поле безвихревое);
3. циркуляция по любому замкнутому контуру в $G$ равна 0;
4. $\int_{AB}(\vec a,d\vec r)$ не зависит от пути.

1⇒2: $\rot\grad u=\vec0$; 2⇒3: Стокс; 3⇒4: два пути образуют контур; 4⇒1: $u(M)=\int_{M_0}^M(\vec a,d\vec r)$.

Работа потенциального поля: $A=\int_{AB}(\vec a,d\vec r)=u(B)-u(A)$. Нахождение потенциала — по формуле из №38. Пример: поле тяготения точечной массы $\vec F=-\frac{k\vec r}{r^3}$, потенциал $u=\frac kr$.

Подробно: глава 10.

Определение. Поле соленоидально (трубчато) в области $G$, если $\div\vec a=0$ в $G$.

Критерий (объёмно односвязная $G$, $\vec a\in C^1$): $\div\vec a=0$ $\Leftrightarrow$ поток через любую замкнутую поверхность в $G$ равен 0 (Остроградский в одну сторону, инвариантное определение $\div$ — в другую). Ещё одна характеристика: $\vec a=\rot\vec b$ — у соленоидального поля есть векторный потенциал; в обратную сторону — $\div\rot\vec b=0$.

Сохранение потока в трубке. Векторная трубка, два её сечения $S_1,S_2$. Замкнутая поверхность $S_1\cup S_2\cup S_{\text{бок}}$: на боковой поверхности $\vec a$ касается её, $a_n=0$. По Остроградскому полный поток наружу 0, поэтому поток через любое сечение трубки (в направлении поля) один и тот же — интенсивность (напряжение) трубки. Для жидкости: сколько втекло, столько вытекло; где трубка уже, там скорость больше.

Разложение поля. Любое гладкое поле можно представить как сумму потенциального и соленоидального: $\vec a=\vec a_1+\vec a_2$, $\vec a_1=\grad u$, $\div\vec a_2=0$. Построение: найти $u$ из уравнения Пуассона $\Delta u=\div\vec a$; тогда $\div(\vec a-\grad u)=\div\vec a-\Delta u=0$.

Подробно: глава 10.

Пусть $z=f(x,y)$ определена в окрестности точки $M_0(x_0,y_0)$.

1. Частные приращения и частные производные. $\Delta_x f=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$ — частное приращение по $x$ ($y$ фиксирован).

$$f'_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta_x f}{\Delta x},\qquad f'_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.$$

Частная производная — обычная производная функции одной переменной $\varphi(x)=f(x,y_0)$. Геометрически $f'_x(M_0)$ — тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к кривой, по которой плоскость $y=y_0$ пересекает поверхность $z=f(x,y)$.

2. Полное приращение: $\Delta f=f(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$, когда меняются обе переменные. Обозначим $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$.

3. Определение. $f$ дифференцируема в $M_0$, если

$$\Delta f=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(\rho),\qquad\rho\to0,$$

где $A,B$ не зависят от $\Delta x,\Delta y$. Равносильная запись: $\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$, $\alpha,\beta\to0$.

4. Теорема (необходимое условие). Если $f$ дифференцируема в $M_0$, то: а) $f$ непрерывна в $M_0$; б) существуют $f'_x(M_0)=A$ и $f'_y(M_0)=B$.

Доказательство. а) $\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\to0$ при $\rho\to0$. б) Положим $\Delta y=0$: $\Delta_x f=A\Delta x+o(|\Delta x|)$, откуда $\frac{\Delta_x f}{\Delta x}=A+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\to A$. Аналогично для $B$. $\square$

5. Определение. Полный дифференциал — главная, линейная относительно $\Delta x,\Delta y$ часть приращения:

$$df=A\Delta x+B\Delta y=f'_x\,dx+f'_y\,dy\qquad(dx=\Delta x,\ dy=\Delta y).$$

Тогда $\Delta f=df+o(\rho)$, то есть $\Delta f\approx df$ при малых $\rho$ — основа приближённых вычислений.

6. Теорема (достаточное условие). Если $f'_x,f'_y$ существуют в окрестности $M_0$ и непрерывны в $M_0$, то $f$ дифференцируема в $M_0$.

Идея: $\Delta f=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$, к каждой скобке — теорема Лагранжа, затем непрерывность производных.

Замечание. Одного существования частных производных мало: у $f=\sqrt{|xy|}$ в $(0,0)$ $f'_x=f'_y=0$, но $f(t,t)=|t|\ne o(\rho)=o(\sqrt2|t|)$, значит, $f$ не дифференцируема.

7. Геометрический смысл. Плоскость

$$z-z_0=f'_x(M_0)(x-x_0)+f'_y(M_0)(y-y_0),\qquad z_0=f(M_0),$$

— касательная плоскость к поверхности $z=f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0,z_0)$. При переходе от $(x_0,y_0)$ к $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ аппликата касательной плоскости меняется ровно на $f'_x\Delta x+f'_y\Delta y=df$. Итак, $\Delta f$ — приращение аппликаты поверхности, $df$ — приращение аппликаты касательной плоскости, и они отличаются на $o(\rho)$: касательная плоскость — единственная плоскость, приближающая поверхность с такой точностью. (Рисунок: поверхность, касательная плоскость, вертикальный отрезок над точкой $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$, на нём отмечены $df$ и $\Delta f$.)

1. Обозначения. $\vec a=P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ — векторное поле; $L$ — замкнутый контур, $d\vec r=(dx,dy,dz)$.

Циркуляция поля по $L$: $\displaystyle \text{Ц}=\oint_L(\vec a,d\vec r)=\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\oint_L a_\tau\,dl$, $a_\tau$ — проекция $\vec a$ на касательную.

Поток через поверхность $S$ в сторону нормали $\vec n$: $\displaystyle\Pi=\iint_S(\vec a,\vec n)\,dS$.

Ротор: $\rot\vec a=\nabla\times\vec a=(R'_y-Q'_z)\,\vec i+(P'_z-R'_x)\,\vec j+(Q'_x-P'_y)\,\vec k$.

2. Теорема Стокса (векторная форма). Пусть

• $S$ — кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, $\vec n$ — единичная нормаль выбранной стороны;
• её край $L$ — кусочно-гладкий замкнутый контур, обходимый согласованно со стороной: при движении по $L$ с головой в направлении $\vec n$ поверхность остаётся слева;
• $P,Q,R$ непрерывны вместе с первыми частными производными в области, содержащей $S$.

Тогда

$$\oint_L(\vec a,d\vec r)=\iint_S(\rot\vec a,\vec n)\,dS,$$

то есть циркуляция поля по контуру равна потоку ротора через поверхность, натянутую на этот контур.

Откуда: это координатная формула Стокса $\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_S(R'_y-Q'_z)\,dy\,dz+(P'_z-R'_x)\,dz\,dx+(Q'_x-P'_y)\,dx\,dy$, в которой слева $(\vec a,d\vec r)$, а справа $dy\,dz=\cos\alpha\,dS$, $dz\,dx=\cos\beta\,dS$, $dx\,dy=\cos\gamma\,dS$, и подынтегральное выражение равно $(\rot\vec a,\vec n)\,dS$.

Следствие: поток ротора через все поверхности с общим краем $L$ одинаков.

3. Инвариантное определение ротора. Возьмём точку $M$ и единичный вектор $\vec n$. Пусть $S_\varepsilon$ — плоская площадка, содержащая $M$, перпендикулярная $\vec n$, с краем $L_\varepsilon$ (обход согласован с $\vec n$), площадь $|S_\varepsilon|$, и $S_\varepsilon$ стягивается в точку $M$. По теореме Стокса и теореме о среднем (функция $(\rot\vec a,\vec n)$ непрерывна):

$$\oint_{L_\varepsilon}(\vec a,d\vec r)=\iint_{S_\varepsilon}(\rot\vec a,\vec n)\,dS=\big(\rot\vec a(M_\varepsilon),\vec n\big)\,|S_\varepsilon|,\qquad M_\varepsilon\in S_\varepsilon.$$

Делим на $|S_\varepsilon|$ и устремляем $S_\varepsilon\to M$; $M_\varepsilon\to M$, по непрерывности

$$\text{пр}_{\vec n}\rot\vec a(M)=\big(\rot\vec a(M),\vec n\big)=\lim_{S_\varepsilon\to M}\frac{1}{|S_\varepsilon|}\oint_{L_\varepsilon}(\vec a,d\vec r).$$

4. Выводы.

• Правая часть не использует координат: проекция ротора на любое направление — это плотность циркуляции в плоскости, перпендикулярной этому направлению. Значит, $\rot\vec a$ — вектор, не зависящий от выбора декартовой системы координат, хотя определялся через координаты.
• Плотность циркуляции наибольшая в плоскости, перпендикулярной $\rot\vec a$, и равна $|\rot\vec a|$.
• Физически: для вращения твёрдого тела $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ имеем $\rot\vec v=2\vec\omega$; маленькое колёсико в потоке вращается вокруг оси, направленной по $\rot\vec v$.

Дано: $\vec a=(z,\,x,\,y)$, $L:\ x^2+y^2=4,\ z=0$, против часовой стрелки при взгляде с $+Oz$.

1. Непосредственно. Параметризация в направлении обхода: $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, $z=0$, $t$ от $0$ до $2\pi$; $dx=-2\sin t\,dt$, $dy=2\cos t\,dt$, $dz=0$.

$$\text{Ц}=\oint_L z\,dx+x\,dy+y\,dz=\int_0^{2\pi}\big(0+2\cos t\cdot2\cos t+0\big)\,dt=4\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=4\pi.$$

2. По Стоксу. Натянем на $L$ круг $S:\ x^2+y^2\le4,\ z=0$. Обход против часовой стрелки при взгляде сверху согласован с нормалью $\vec n=\vec k$.

$$\rot\vec a=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ z&x&y\end{vmatrix}=(1-0)\,\vec i+(1-0)\,\vec j+(1-0)\,\vec k=(1,1,1).$$ $$\iint_S(\rot\vec a,\vec n)\,dS=\iint_S1\,dS=\pi\cdot2^2=4\pi.$$

Ответ: $\text{Ц}=4\pi$, оба способа совпадают.